Линейная алгебра — 21.1: Диагонализация: A = SΛS⁻¹

Исходя из уравнения на собственные значения для одного вектора Ax = λx, в этой лекции каждый собственный вектор помещается в матрицу S, и выводится основное уравнение AS = SΛ. Затем, после двух перестановок, получается диагонализация A = SΛS⁻¹ и её аналог S⁻¹AS = Λ, что показывает, что A представляет собой чистое растяжение в базисе собственных векторов. В результате получается тривиальная формула для степеней матрицы, A^k = SΛ^k S⁻¹, и четкое место диагонализации наряду с LU и QR в семействе матричных разложений. Основные рассматриваемые понятия: • Построение матрицы собственных векторов S и вывод AS = SΛ по столбцам • Почему умножение справа на диагональную матрицу масштабирует столбцы независимо • Условие обратимости: S⁻¹ существует тогда и только тогда, когда собственные векторы линейно независимы • Две перестановки: S⁻¹AS = Λ и A = SΛS⁻¹ • Сэндвич-интерпретация — изменение на собственный базис, растяжение, обратное изменение • Неединственность S и соответствующая перестановка Λ • Дефектные матрицы: когда повторяющиеся собственные значения не обеспечивают достаточного количества независимых собственных векторов (пример: [[2,1],[0,2]]) • Тривиальное вычисление степеней матрицы: A^k = SΛ^k S⁻¹, где Λ^k вычисляется поэлементно на диагонали • Сравнение трех факторизаций: LU для решения Ax = b, QR для Ортонормализация и метод наименьших квадратов, SΛS⁻¹ для динамики и повторяющегося действия ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ИСТОЧНИКИ МАТЕРИАЛОВ Источники для этого видео взяты с https://www.youtube.com/watch?v=13r9QY6cmjc